Postawieni przed wyborem w teleturnieju, gdzie można wygrać samochód lub odejść z kwitkiem, lepiej zaufać matematyce niż intuicji.
Monty Hall to kanadyjski aktor, który przez długie lata prowadził, a potem był producentem teleturnieju „Let’s make a deal”. Format znany był w Polsce jako „Idź na całość”, który u nas prowadził Zygmunt Chajzer. Stałym elementem gry był wybór nagrody głównej, którą często był samochód, ukrytej za jednymi z trzech zamkniętych drzwi. Za pozostałymi drzwiami był zonk, czyli nic wartościowego.
Gracz wybierał drzwi. Następnie prowadzący, który wiedział gdzie jest nagroda, odsłaniał jedne z dwóch pozostałych drzwi z zonkiem i pytał, czy gracz chce zmienić swój wybór. Czasem mocno namawiał, czasem oferował dodatkowe pieniądze za zmianę wyboru. Często gracze zostawali przy pierwotnym wyborze, z uporu, z przekory, z wiary we własne szczęście. Intuicyjnie jak zostaje dwójka zamkniętych drzwi, to szanse są pół na pół, więc jakie to może mieć właściwie znaczenie? Jednak intuicja wiedzie nas na manowce, bo okazuje się, że prawdopodobieństwo wygranej przy zmianie drzwi jest dwukrotnie większe niż w przypadku, kiedy zostaniemy przy pierwotnym wyborze.
Paradoks elegancko wyjaśniła w jednym ze swoich cyklicznych artykułów Marilyn Vos Savant, kobieta z udokumentowanym IQ wynoszącym 190. Artykuł tłumaczący dlaczego warto zmienić wybór drzwi początkowo spotkał się z lawiną krytyki, w tym z strony wielu ludzi ze świata nauki, z doktoratami, ale też zwykłych ludzi odsyłających autorkę niemalże do powtarzania szkoły podstawowej, choć w końcu wyszło na to, że ona miała rację.
W skrócie można wywód przedstawić następująco. Szansa wygranej przy pierwotnym wyborze wynosi 1/3 i to prawdopodobieństwo nie zmienia się przy odsłonięciu drzwi z zonkiem. Szansa, że wygramy gdybyśmy mogli odsłonić parę pozostałych drzwi, zamiast pierwotnego wyboru wynosi 2/3. Ponieważ prowadzący z tej pary wskazuje drzwi z zonkiem, my wybierając drugie drzwi z tej pary, czyli zmieniając wybór, efektywnie korzystamy z prawdopodobieństwa dla pary drzwi. A że 2/3 jest dwa razy większe o 1/3, to jest to dla nas bardzo korzystny wybór, mocno zwiększający szanse wygranej. Dowód można też przeprowadzić poprzez rozpisanie wszystkich przypadków, jak również przeprowadzając doświadczenie empiryczne z odpowiednią ilością próbek.
Źródło grafiki: (C) Piotr Mańkowski
Zawsze się zastanawiałem oglądając początki Milionerów czy tam pytania nie są generowane na bieżąco w zależności od psyche i postępów grającego.